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相量法的原理

正弦量

常见的周期信号有正弦波、方波和三角波,其中正弦波的地位最为重要,原因主要有:

  • 正弦波是唯一一种经过线性电路(只由电阻、电容和电感等线性元件组成)而不发生畸变的信号,输入是正弦波,那么输出也是正弦波
  • 根据傅里叶级数,满足狄利克雷条件的周期信号都可以表示为一系列正弦波的叠加。线性系统满足叠加原理,可以先求出各个正弦波分量的响应,叠加起来即为总的响应

我们经常需要求解两个同频率正弦量的代数和,例如求解下面两个正弦量的和:

\[ S = A \sin(\omega t + \theta_1) + B \sin(\omega t + \theta_2) \]

计算过程中要用到下面的三角函数公式:

\[ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]

于是有

\[ \begin{split} S &= A (\sin \omega t \cos \theta_1 + \cos \omega t \sin \theta_1) + B (\sin \omega t \cos \theta_2 + \cos \omega t \sin \theta_2) \\ &= (A \cos \theta_1 + B \cos \theta_2) \sin \omega t + (A \sin \theta_1 + B \sin \theta_2) \cos \omega t \end{split} \]

\(M = (A \cos \theta_1 + B \cos \theta_2)\)\(N = (A \sin \theta_1 + B \sin \theta_2)\),则

\[ \begin{split} S &= M \sin \omega t + N \cos \omega t \\ &= \sqrt{M^2+N^2} \left( \frac{M}{\sqrt{M^2+N^2}} \sin \omega t + \frac{N}{\sqrt{M^2+N^2}} \cos \omega t \right) \\ &= \sqrt{M^2+N^2} (\sin \omega t \cos \psi + \cos \omega t \sin \psi) \\ &= \sqrt{M^2+N^2} \sin (\omega t + \psi) \end{split} \]

其中\(\psi = \arctan \frac{N}{M}\),从计算结果可知,两个频率相同的正弦量之和依然是正弦量,且周期不变。上面的计算过程很繁琐,所以引入相量(phasor)以简化计算。

复数

要理解相量,需要有复数的基础知识。本文的读者至少应该知道:

  • 复数的算术运算法则
  • 复数\(z=a+bi\)对应复平面上的坐标\((a,b)\)
  • 复数还能用原点指向点\((a, b)\)的向量来表示,向量的长度\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)称为复数的模,幅角\(\theta = \arctan b/a\)
  • 根据欧拉公式,可得到复数的指数表达式\(|z|e^{i\theta}\)

当计算加减法时,用复数的算术形式\(z=a+bi\)更方便;当计算乘除法时,用复数的指数形式\(|z|e^{i\theta}\)更方便。

相量

在工程计算中一般用\(j\)来替代上面的\(i\)符号。对正弦量\(A \sin(\omega t + \theta_1)\),作一个对应的\(A e^{j(\omega t + \theta_1)}\),它是某个复数的指数形式。根据欧拉公式:

\[ A e^{j(\omega t + \theta_1)} = A \cos (\omega t + \theta_1) + j A \sin(\omega t + \theta_1) \]

正弦量正好是向量的虚部,即

\[ A \sin(\omega t + \theta_1) = \Im (A e^{j(\omega t + \theta_1)}) \]

根据复数的运算法则

\[ \Im(u + w) = \Im (u) + \Im (w) \]

于是有

\[ \begin{split} \Im (A e^{j(\omega t + \theta_1)} + B e^{j(\omega t + \theta_2)}) &= \Im (A e^{j(\omega t + \theta_1)}) + \Im (B e^{j(\omega t + \theta_2)}) \\ &= A \sin(\omega t + \theta_1) + B \sin(\omega t + \theta_2) \end{split} \]

也就是说,两个正弦量的和可以转化成两个复数的和,计算出两个复数的和,和的虚部也就是复数对应的正弦量,即为我们要计算的两个正弦量的和。假设

\[ A e^{j(\omega t + \theta_1)} + B e^{j(\omega t + \theta_2)} = C e^{j(\omega t + \theta_3)} \]

那么,两个正弦量的和

\[ A \sin(\omega t + \theta_1) + B \sin(\omega t + \theta_2) = C \sin(\omega t + \theta_3) \]

复数的和非常好计算:先将复数从指数形式转化为代数形式,求和就非常简单,再将求和的结果从代数形式转化为指数形式,得到对应的正弦量,即为要计算的两个正弦量的和。

从上面可以看出,两个正弦量的频率必须相同才能使用相量法计算。所以省略\(A e^{j(\omega t + \theta)}\)中的\(j \omega t\),写为\(A e^{j \theta}\),或者记为\(A \angle \theta\),这就是我们通常用来表示相量的符号。