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开环传递函数的作用

定义

开环传递函数是「自动控制原理」课程中反复出现的概念。首先要明确,它指的是闭环系统的开环传递函数,也就是说,但凡提到这一概念,一定是针对闭环系统而言的。

对于典型的闭环控制系统,开环传递函数定义为前向通道的传递函数\(G(s)\)和主反馈通道的传递函数\(H(s)\)的乘积\(G(s)H(s)\)。闭环传递函数和开环传递函数之间的关系是:

\[ \Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \]

正是这个重要的关系式成就了开环传递函数的地位。经典控制理论有三大分析方法:时域法、根轨迹法和频域法,开环传递函数在这三种分析法中都发挥了重要的作用。

时域法

闭环传递函数\(\Phi(s)\)的分母多项式\(1+G(s)H(s)=0\)称为系统的特征方程,特征方程的根全部分布在\(s\)左半平面时,系统才是稳定的。如果知道了开环传递函数\(G(s)H(s)\),就可以直接写出特征方程,从而判断系统的稳定性。

除了判断系统的稳定性,还可以计算稳态误差。从开环传递函数的形式可以得到开环增益\(K\)和系统的型别\(\nu\),这两个参数就决定了系统的稳态误差,这就是时域分析中求解稳态误差的静态误差系数法。

根轨迹法

根轨迹法是通过开环传递函数\(G(s)H(s)\)的零点和极点,去判断闭环传递函数的极点的位置,闭环极点的位置决定系统的稳定性和性能。绘制根轨迹的法则都从如下的公式推导而来:

\[ G(s)H(s) = -1 \]

频域法

在频域法中,可以通过开环系统的频率特性去判断闭环系统的稳定性,这就是Nyquist稳定性判据。稳定裕度也是从开环系统的频率特性定义而来,用于衡量闭环系统的相对稳定性,也就是稳定程度。

优点

引入开环传递函数有如下优点:

  1. 简化计算。最典型的莫过于根轨迹法,当某个参数变化时,不需要重复求解高阶代数方程就可以判断闭环极点的移动轨迹。这一点在高性能计算机出现之前尤为重要。
  2. 开环传递函数可直接配置。系统的稳定性和性能由闭环传递函数直接决定,但它是从各环节的传递函数计算出来的,无法直接配置。而开环传递函数是各个环节传递函数的乘积,在设计系统时,开环零点和极点可以直接配置,进而决定闭环系统的性能。
  3. 开环特性容易测量。很多实际系统中的输出是无法直接测量的,反馈通道其实就是测量环节,起着量纲转换的作用。将主反馈通道打断,在输入端接上测试信号,并记录测量环节的输出信号,就能够得到系统的开环特性。例如,输入不同频率的信号,就能绘制开环系统的频率特性图(Bode图或Nyquist图),即使系统的模型是未知的,也能通过判断系统的稳定性和稳定程度。