如何理解连续的频谱

从连续信号的傅里叶分析一文可知，周期连续信号可表示为成谐波关系的正弦信号的叠加，其频谱是离散的，傅里叶级数的系数表示每个频率成分的权重，物理意义很明显。非周期连续信号也能表示成不同频率正弦信号的叠加，只不过频率之间没有间隙，频谱是连续的，它的物理意义就没有那么明显了。

将连续信号的傅里叶变换公式对列出：

\[ \begin{equation} x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j \omega)e^{j \omega t} d \omega \end{equation} \]

\[ \begin{equation} X(j \omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j \omega t} d t \end{equation} \]

我们首先假设某信号\(x(t)\)的傅里叶变换是个脉冲函数，面积为\(2\pi\)，出现在\(\omega = \omega_0\)处，即：

\[ \begin{equation} X(j \omega) = 2\pi \delta(\omega - \omega_0) \end{equation} \]

通过傅里叶反变换公式\((1)\)可以求出对应的时域信号\(x(t)\)：

\[ \begin{equation} x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - \omega_0) e^{j \omega t} d \omega = e^{j \omega_0 t} \end{equation} \]

\((4)\)式表明，频域中的脉冲\(2\pi \delta(\omega - \omega_0)\)是时域中的信号\(e^{j \omega_0 t}\)的频谱。

我们知道，时域中的信号\(x(t)\)可以表示成脉冲\(\delta(t)\)的叠加，可以用卷积来表示：

\[ \begin{equation} x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) d \tau \end{equation} \]

这一点对频域信号\(X(j \omega)\)也是适用的，把变量\(t\)换成\(\omega\)就行了，即：

\[ \begin{equation} X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\tau) \delta(\omega-\tau) d \tau \end{equation} \]

把\((6)\)式改写一下：

\[ \begin{equation} X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2\pi} X(j\tau) 2\pi \delta(\omega-\tau) d \tau \end{equation} \]

所以，我们可以这么理解连续的频谱\(X(j\omega)\)的意义：\(X(j\omega)\)可以表示成无数个脉冲函数的叠加，每个脉冲函数对应某个频率的信号，即，非周期连续函数也能表示成正弦信号的叠加，各频率信号所占的比重是脉冲的面积\(X(j\omega)\)的\(1/2\pi\)倍。