特征值和特征向量
从线性代数：线性空间与线性映射一文可知，一个线性变换在不同基下的表示矩阵是相似的。现在探讨哪类矩阵相似于对角阵，以及如何找到对应的基。
设是数域上的线性空间的线性变换，如果， 且满足
则称是线性变换的一个特征值，称为关于特征值的特征向量。从几何上看，该线性变换仅改变了向量的长度。属于特征值的全体特征向量加上零向量构成的一个子空间，记为，是的不变子空间，也称为特征子空间。如果在某组基下的表示矩阵为，则有
上面方程的解空间称为关于特征值的特征子空间。即要求解
该行列式称为的特征多项式。相似矩阵具有相同的特征多项式和相同的特征值。先解特征方程求出特征值（可能有复根和重根），再将各个特征值代入到方程中，求出特征值对应的特征向量。
对角化
阶方阵相似于对角阵的充要条件是有个线性无关的特征向量。类似地，存在一组基使得维线性空间上的线性变换在该组基下的表示矩阵为对角阵的充要条件是有个线性无关的特征向量。
如果有个不同的特征值，则可以对角化，原因是属于不同特征值的特征向量是线性无关的。如果特征方程有重根，即特征值有重数，也是可以对角化的。假设有个不同特征值，，是特征值的特征子空间，则可以对角化的充要条件是
基于上述结论，得到从计算层面上判断可对角化的方法：对于每个特征根，只要其重数与属于的特征子空间的维数相等，就可以对角化。简单来说，有重根不可怕，但最后一定要凑齐个线性无关的特征向量，所以重特征值必须要有个线性无关的特征向量。
现假设的特征值为，属于它们的特征向量是线性无关的，根据定义有
记是的列向量分块，为构成的对角阵，则上面的结果可以写成
所以
与对角阵相似，对角化要求的矩阵的求法也一目了然。
极小多项式
数域上的全体矩阵组成了上的线性空间，维数为，所以下列个矩阵必然线性相关：
所以存在中不全为零的数，使得
这表明矩阵适合数域上的多项式。所适合的非零多项式中次数最小的，称为极小多项式或最小多项式。任一阶矩阵的极小多项式是唯一的。相似的矩阵具有相同的极小多项式。
Cayley-Hamilton定理：设是数域上的阶矩阵，若是的特征多项式，则，该结论对线性变换同样成立。