多项式矩阵
相似标准型这部分内容的目的在于，找一类比较简单的矩阵，使任一同阶矩阵均与这类矩阵中的某一个相似。
思路是首先找出相似矩阵的不变量，不仅在相似关系下保持不变，而且足以判断两个矩阵是否相似，这叫做全系不变量；然后找出一类比较简单的矩阵，利用全系不变量判断与这类矩阵中的某个相似。
多项式矩阵，或-矩阵，指的是矩阵的元素是以为未定元的数域上的多项式。-矩阵的初等行（列）变换有3种，分别是两行（列）对换、某行（列）乘以非零常数、某行（列）乘以多项式后加到另一行（列）。-矩阵经初等变换得到的矩阵与原来矩阵相抵。3种初等变换对应的矩阵称为初等-矩阵。左（右）乘初等-矩阵等于初等行（列）变换。两个-矩阵相乘等于，则互为逆矩阵。
得到重要的结论：数域上的矩阵与相似的充要条件是-矩阵与相抵。这里需要再强调下相似和相抵的区别，与相似则存在可逆阵使得，与相抵则二者可以通过初等变换得到对方。相抵也可以称为等价。
矩阵的法式
现在求-矩阵的相抵标准型。任一阶-矩阵相抵于对角阵
其中是非零首一多项式且，这里的称为的秩。需要注意，-矩阵的秩并不意味着它可逆。上面的对角-矩阵称为的法式或相抵标准型。
数域上的阶矩阵的特征矩阵必相抵于
其中。也是-矩阵，这个结论是一个特例。
不变因子
阶-矩阵的所有阶子式的非零最大公因子（它是首一多项式）称为的阶行列式因子，记为。例如，下列矩阵
其中为非零首一多项式且，它的非零行列式因子为
容易得到，相邻阶行列式因子的比称为的不变因子。上例中矩阵的不变因子为
相抵的-矩阵有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。矩阵的法式和不变因子相互唯一确定。两个-矩阵相抵当且仅当它们具有相同法式。所以，法式、行列式因子、不变因子都是-矩阵相抵的全系不变量。
从前面一系列结论可以推出，数域上的阶矩阵与相似的充要条件是它们的特征矩阵与具有相同的行列式因子或不变因子。
有理标准型
根据不变因子，可以构造矩阵的有理标准型或Frobenius标准型，分块对角阵上的每个分块都是个Frobenius块。
初等因子
将不变因子在数域上分解成不可约因式之积，即可得到初等因子。举个例子，假设9阶矩阵的不变因子组为
则在有理数域上的初等因子组为
在实数域上的初等因子组为
在复数域上的初等因子组为
如果已知上面实数域上这组初等因子组，想得到不变因子组，将多项式分类按降幂排列：
分别将各列的元素相乘，得到
其余的7个全部为，与前面的结果相符。
利用初等因子组可以得到比有理标准型更精细的标准型，对每个初等因子都可以构造一个初等因子组就是它的简单矩阵，再将所有这样的矩阵拼成一个分块对角阵就得到标准型，这就是后面要介绍的Jordan标准型。
Jordan标准型
复数域上的初等因子都是一次因子的幂，一定具有的形状，是矩阵的特征值。下列阶矩阵
的初等因子组为。
复数域上的矩阵的初等因子组为
则相似于如下分块对角阵（Jordan标准型）
其中为阶矩阵，且
所以，我们得到了如下重要结论：是复数域上线性空间上的线性变换，则必存在的一组基，使得在这组基下的表示矩阵为Jordan标准型。线性代数：特征值一文中的相似于对角矩阵是上面结论的特殊情况，当矩阵的初等因子都是一次多项式或矩阵极小多项式无重根时，则该矩阵可以对角化。
类似地，上的线性变换可以对角化当且仅当的极小多项式无重根，当且仅当的初等因子都是一次多项式。也就是说，可以找到一组基，使得线性变换在这组基下的表示矩阵为Jordan标准型。