二次型
二次型是个多项式，其中所有项的次数都是二次的，这里的「型」表示齐次多项式。
设是数域上的元二次齐次多项式
称为数域上的元二次型，简称二次型。用矩阵乘法可以写成如下形式
其中
矩阵是对称阵，即对一切成立。
设二次型是线性空间上的二次函数，有两组基和，向量在两组基下的坐标有如下关系
矩阵是到的过渡矩阵。关于这个矩阵的意义，也可以看成是两组变元与之间的线性关系。将上面的关系代入到中，得
所以，是以为变元的二次型，也是对称阵。
数域上的矩阵与是合同的，若存在阶非奇异阵，使得。可以证明，只要是阶对称阵，则一定存在这样的非奇异阵，使为对角阵。
惯性定理
先讨论实数域上的二次型，即实二次型。任意一个实对称阵合同于一个对角阵，不妨设实对称矩阵已经是对称阵：
任意调换主对角线上的元素得到的矩阵依然与合同，可以将零放在一起，正项和负项放在一起，即设
做适当的变元替换，可得合同于对角阵
其中有个，个，个零。
设是个元实二次型，且可化为两个标准型：
其中，则必有，这就是惯性定理。式中的二次型称为的规范标准型，是该二次型的秩，是它的正惯性指数，是它的负惯性指数，称为的符号差。秩与符号差（或正负惯性指数）是实对称阵在合同关系下的全系不变量。
再讨论复数域上的二次型，即复二次型。由于复二次型
必可以化为的形式，所以秩是是复对称阵在合同关系下唯一的全系不变量。
正定型与正定矩阵
这里讨论的都是实二次型。二次型和矩阵正定、负定、半正定、半负定的定义在这里就不列出来了。有如下结论：
- 实二次型正定的充要条件是的正惯性指数等于，实对称矩阵是正定阵当且仅当它合同于单位阵
- 实二次型负定的充要条件是的负惯性指数等于，实对称矩阵是负定阵当且仅当它合同于单位阵
- 实二次型半正定的充要条件是的正惯性指数等于的秩，实对称矩阵是半正定阵当且仅当它合同于对角阵
- 实二次型半负定的充要条件是的负惯性指数等于的秩，实对称矩阵是半负定阵当且仅当它合同于对角阵
阶矩阵的个子式
称为的顺序主子式。阶实对称矩阵是正定阵的充要条件是它的个顺序主子式全大于零。
Hermite型
复数域上有个变元的二次齐次函数称为Hermite型：
其中。容易验证，虽然变元和系数都是复数域上的，但函数值却总是实数。当变元和系数都在实数域上，就是实二次型。类似地，Hermite型可以写成矩阵相乘的形式
而且满足，这样的矩阵称为Hermite矩阵。Hermite矩阵和实对称矩阵特性相似，也有很多类似的结论。