基础知识
定义
本文讨论的离散信号指的是离散时间信号(discrete-time signal),信号只定义在离散的时刻点上,也就是自变量(时间)仅取在一组离散值上。例如,股票市场的指数就是离散时间信号。
在这里需要注意几个容易混淆的概念。如果信号的自变量和函数值都取连续值,称信号为模拟信号或连续时间信号;如果自变量取离散值,而函数值取连续值,则称信号为离散时间信号,这种信号通常来源于对模拟信号的采样;如果信号的自变量和函数值均取离散值,则称为数字信号,数字信号其实就是量化后的离散时间信号,是计算机中的表示形式。
离散信号的表示和连续信号类似,只不过把时间变量\(t\)改成了\(n\)。同样地,我们基于周期复指数信号讨论正弦信号\(x(n)=\sin \omega_0 n\)的特性,它的表达式为
\[ x(n) = e^{j \omega_0 n} \]
它可以看成是连续信号在整数点上的取值,和连续信号类似,但又有区别。可以使用如下的MATLAB代码绘制离散信号的图像:
1 | n = -5:5; |
振荡速率
在连续信号情况下,每个\(\omega_0\)对应的是不同的信号,但是离散情况下就不同了,由于
\[ e^{j (\omega_0+2\pi) n} = e^{j \omega_0 n} \cdot e^{j 2\pi n} = e^{j \omega_0 n} \]
所以,离散周期复指数信号在频率\(\omega_0+2\pi\)与频率\(\omega_0\)时是完全一样的。
所以,考虑这种离散时间周期复指数信号时,仅仅需要在某个\(2\pi\)间隔内选择\(\omega_0\)即可,一般取\(0 \le \omega_0 < 2\pi\)或\(-\pi \le \omega_0 < \pi\)。由上面的讨论可知,\(\omega_0\)数值增加时,\(e^{j \omega_0 n}\)的振荡速率并不会不断增加。\(\omega_0\)从\(0\)增加到\(\pi\)时,振荡速率越来越快,从\(\pi\)变化到\(2\pi\)时,振荡速率会下降。下图是\(\omega_0\)取不同值时对应正弦信号的图像:
所以,离散复指数信号的低频部分位于\(\omega_0\)在\(\pi\)的偶数倍值附近,高频部分则位于\(\omega_0\)在\(\pi\)的奇数倍值附近。
周期公式
现在讨论它的周期\(N\)。根据周期信号的定义有
\[ e^{j \omega_0 (n + N)} = e^{j \omega_0 N} \cdot e^{j \omega_0 n} = e^{j \omega_0 n} \]
所以\(e^{j \omega_0 N} = 1\),必须有个整数\(m\),满足
\[ \omega_0 N = 2 \pi m \]
或
\[ \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{m}{N} \]
所以,只有\(\omega_0 / 2 \pi\)为有理数时,\(e^{j \omega_0 n}\)才是周期信号,否则就不是周期的。这是由于离散时间信号仅能在自变量的整数值上有定义造成的。
基波频率
\[ \frac{2\pi}{N} = \frac{\omega_0}{m} \]
那么基波周期\(N\)也可以写成
\[ N = m \left( \frac{2 \pi}{\omega_0} \right) \]
基于上面的原因,通常给定周期复指数信号的基波周期\(N\),然后求得频率\(\omega_0=2\pi/N\)(此时\(m=1\)),得到它的表达式\(e^{j \omega_0 n}\)。
谐波信号
再讨论成谐波关系的周期离散时间复指数信号。下面的信号具有公共周期\(N\),频率都是基波周期\(2\pi/N\)的整数倍:
\[ \phi_k(n) = e^{j k (2\pi/N) n}, \, k = 0, \pm 1, \cdots \]
在连续情况下,成谐波关系的信号都是不相同的。但是离散情况下则不一样,因为
\[ \phi_{k+N}(n) = e^{j (k+N) (2\pi/N) n} = e^{j k (2\pi/N) n} \cdot e^{j 2\pi n} = \phi_k(n) \]
所以,上述成谐波关系的信号中,仅有\(N\)个互不相同的周期复指数信号,而且
\[ \phi_k(n) = \phi_{k+rN}(n) \]
离散傅里叶级数(DFS)
离散时间周期信号可以表示为成谐波关系的指数信号的加权和,即为离散傅里叶级数(discrete Fourier series, DFS)。由于周期为\(N\)、基波频率\(\omega_0 = 2\pi/N\)、成谐波关系的周期复指数信号中只有\(N\)个是不相同的,所以离散时间傅里叶级数的形式为有限个复指数信号的和
\[ \tilde{x}(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=\left \langle N \right \rangle} \tilde{X}(k) e^{j k \omega_0 n} = \frac{1}{N} \sum_{k=\left \langle N \right \rangle} \tilde{X}(k) e^{j k (2\pi/N) n} \]
求和限\(k=\left \langle N \right \rangle\)表示\(k\)在\(N\)个相继整数的区间上变化。系数\(\tilde{X}(k)\)的计算公式为
\[ \tilde{X}(k) = \sum_{k=\left \langle N \right \rangle} \tilde{x}(n) e^{-j k \omega_0 n} = \sum_{k=\left \langle N \right \rangle} \tilde{x}(n) e^{-j k (2\pi/N) n} \]
由于成谐波关系的信号中仅有\(N\)个互不相同的周期复指数信号,所以,离散时间周期信号的傅里叶级数\(\tilde{X}(k)\)一定以\(N\)为周期往复变化的,也就是说,离散时间周期信号的频谱是离散的、周期的。和连续时间信号傅里叶级数不同的是,级数的项数是有限的,不存在收敛问题,而且能够完全精确地逼近。
如果令\(W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}\),则上面的DFS公式对还可以写成
\[ \tilde{X}(k) = \sum_{k=\left \langle N \right \rangle} \tilde{x}(n) W_N^{nk} \]
\[ \tilde{x}(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=\left \langle N \right \rangle} \tilde{X}(k) W_N^{-nk} \]
下面的MATLAB代码实现了dfs
和idfs
函数,用于计算离散傅里叶级数及其逆运算:
1 | function [Xk, k] = dfs(xn, n1, n2) |
来看一个例子。现有一个离散周期信号\(\tilde{x}(n)\),其周期为\(N\),某个周期片段如下:从\(-N_1\)到\(N_1\)的值为\(1\),其余为\(0\),即一个周期\(N\)内,有\(2N_1+1\)个时间点的值为\(1\)。如下的代码取周期信号\(\tilde{x}(n)\)在一个周期的片段\(x(n)\),使用dfs
函数计算傅里叶级数系数,本例得到的频谱系数都是实数。最后绘制信号及其频谱,它们都是周期的,在代码中是通过周期延拓得到的。
1 | N = 20; |
得到的图像如下:
读者可以尝试增大\(N\)的值,看频谱图如何变化。
离散时间傅里叶变换(DTFS)
离散时间非周期信号可以表示为不同频率的指数信号的加权和,它的频谱是连续的,用离散时间傅里叶变换(discrete-time Fourier transform, DTFT)描述,后面简称DTFT。和连续信号的分析方法类似,不断增大周期信号的周期\(N\),频谱会越来越密集,这一点可以使用上面的代码验证。当\(N \to \infty\)时,频谱由离散变为连续,周期信号变为非周期信号,傅里叶级数转化为傅里叶变换。得到了如下的傅里叶变换公式对
\[ x(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j \omega n} d\omega \]
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} \]
从DTFT得到的频谱\(X(e^{j\omega})\)是连续函数,由于\(\omega_0\)相差\(2\pi\)的两个复指数信号是一样的,所以\(X(e^{j\omega})\)是周期函数,周期为\(2\pi\)。也就是说,离散时间非周期信号的频谱是连续的、周期的。频谱中靠近偶数倍\(\pi\)的\(\omega\),对应的是低频率的信号;而靠近奇数倍\(\pi\)的\(\omega\),对应的则是高频率的信号。
举个例子,取上图中周期信号的一个片段:\(n\)从\(-2\)取到\(17\),一共取\(N=20\)个点。那么该信号的DTFT计算如下:
\[ \begin{align*} X(e^{j\omega}) & = \sum_{n=-2}^{17} x(n) e^{-j \omega n} = \sum_{n=-2}^{2} e^{-j \omega n} \\ & = e^{j 2\omega} + e^{-j 2\omega} + e^{j \omega} + e^{-j \omega} + 1 \\ & = 2 \cos 2\omega + 2 \cos \omega + 1 \end{align*} \]
一般来说\(X(e^{j\omega})\)是复函数,但此例中得到的是实函数,可直接画出它的图像,注意横轴标度是以\(\pi\)为单位。
DTFS与DFS的关系
与图2的频谱图作对比可发现,频谱图的包络线就是本例中的周期连续函数\(X(e^{j\omega})\)。实际上,可以证明,将任意非周期函数\(x(n)\)的离散时间傅里叶变换\(X(e^{j\omega})\)作等间隔采样,可得到\(x(n)\)的周期延拓\(\tilde{x}(n)\)的傅里叶级数系数\(\tilde{X}(k)\),采样间隔为\(2\pi/N\),即
\[ \tilde{X}(k) = X(e^{j\omega}) \mid_{\omega = \frac{2\pi}{N} k} \]
令\(\omega_1=2\pi / N\),\(\omega_k = k \omega_1\),上述关系还可以记为
\[ \tilde{X}(k) = X(e^{j \omega_k}) = X(e^{j k \omega_1}) \]
DTFS与DFS的这种关系是后续引入离散傅里叶变换(discrete Fourier transform, DFT)的关键。