卷积的数学推导和形象解释
卷积是「信号与系统」课程中非常重要的内容，学习和理解起来比较困难。如果仔细读了奥本海姆那本经典教材，应该可以弄懂这个概念。本文会将教材中的公式推导和形象的例子结合起来，希望能把卷积讲清楚。
廷杖，俗称打板子，是古代很常见的刑罚，我们经常在电视剧里看到知县下令把犯人拖下去打几十大板的情节。现在研究廷杖对人体的伤害，输入信号是臀部受到板子的冲击力随时间变化的函数\(x(t)\)，输出信号是身体的痛苦程度随时间变化的函数\(y(t)\)。假设知县对执行廷杖的两人要求非常高，首先，在受刑的整个过程犯人的臀部都能感受到打击，即\(x(t)\)是连续时间信号，而不是脉冲信号；其次，知县可以安排不同的打法，比如「先轻后重」、「先重后轻」、「轻重交替」、「平均用力」等等，即使给出\(x(t)\)的函数表达式，两人都能够正确执行。
两人经过多年的磨炼，技术达到了炉火纯青的地步，一左一右配合非常默契。一人的板子离开犯人的臀部，另一人的板子能够立刻衔接上去，让犯人感觉到臀部一直在受力。每次打击在犯人臀部上作用的时间非常短，在整个作用时间内力度是均匀的。为了在数学上描述每次打击，介绍如下的矩形脉冲信号
\[ \begin{equation} \delta_{\Delta}(t) = \begin{cases} 1/\Delta, & 0 \le t < \Delta \\ 0, & 其他 \end{cases} \tag{1} \end{equation} \]
这个信号在时间\(0 \le t < \Delta\)的值为\(1/\Delta\)，其余时间为\(0\)，函数图像是宽度为\(\Delta\)、高度为\(1/\Delta\)、面积为\(1\)的矩形。那么\(\delta_{\Delta}(t) \cdot \Delta\)就是宽度为\(\Delta\)，高度为\(1\)的信号，我们用这个信号来描述从\(0\)时刻开始作用、持续时间为\(\Delta\)、力度为一个单位的一次打击。
把\(\delta_{\Delta}(t)\)沿着时间轴平移时间\(k\Delta\)得到信号\(\delta_{\Delta}(t-k\Delta)\)，它从\(k\Delta\)时刻开始作用，持续时间为\(\Delta\)。那么信号\(x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta) \Delta\)表示力度为\(x(k\Delta)\)、从\(k\Delta\)时刻开始作用、持续时间为\(\Delta\)的一次打击。整个廷杖过程可以看成发生在不同时刻的每板打击的叠加，所以输入信号\(x(t)\)可以用如下的阶梯信号\(\hat{x}(t)\)来近似
\[ \begin{equation} \hat{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta) \Delta \tag{2} \end{equation} \]
\(\hat{x}(t)\)就是发生在所有不同时刻的矩形脉冲的叠加。随着\(\Delta\)趋近于\(0\)，阶梯信号的锯齿越小，\(\hat{x}(t)\)将越来越趋近\(x(t)\)，用公式描述就是
\[ \begin{equation} x(t) = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta) \Delta \tag{3} \end{equation} \]
当\(\Delta \to 0\)时，\(\delta_{\Delta}(t)\)的极限就是单位脉冲函数\(\delta(t)\)。将求和符号变成积分符号、\(k\Delta \to \tau\)、\(\Delta \to \mathrm{d}\tau\)，得
\[ \begin{equation} x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) \mathrm{d}\tau \tag{4} \end{equation} \]
所以，任意输入信号可看成脉冲信号的移位叠加。
假设已知单位力度的打击下身体痛苦程度随时间变化的函数，也就是单位脉冲响应\(h(t)\)，从常理推断，该函数的曲线是先上升后逐渐衰减到\(0\)。假设人体是个线性时不变系统，根据时不变性质，当输入信号延迟时间\(\tau\)时，响应也会延迟同样的时间\(\tau\)，即输入为\(\delta(t-\tau)\)时，输出变为\(h(t-\tau)\)。根据线性系统的齐次性，将打击力度放大某个倍数，痛苦程度也会放大相同的倍数，即输入为\(x(\tau)\delta(t-\tau)\)时，输出变为\(x(\tau)h(t-\tau)\)。根据线性系统的可加性，多次打击产生的伤害就等于每次打击单独作用的和，积分其实就是求和。综上所叙，连续打击产生的痛苦，即系统的输出
\[ \begin{equation} y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) \mathrm{d}\tau \tag{5} \end{equation} \]
\((5)\)就是著名的卷积公式。还可以使用如下的记号表示两个信号的卷积
\[ \begin{equation} x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) \mathrm{d}\tau \tag{6} \end{equation} \]
卷积的基本思想是，将输入信号转化成发生在不同时刻的脉冲信号的叠加，已知系统对单位脉冲信号的响应，将每个时刻的响应叠加起来就得到了总的响应。从上面的推导过程可以看出，正因为系统的线性和时不变性质，才得到了非常简洁漂亮的表达式。
那么，已知系统的单位脉冲响应\(h(t)\)，想计算任意输入信号\(x(t)\)作用下系统的输出\(y(t)\)，只要将\(x(t)\)和\(h(t)\)做卷积就可以了，所以单位脉冲响应能完全描述这个系统的特性。因此，卷积在时域分析中非常重要。