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卷积的数学推导和形象解释

卷积是「信号与系统」课程中非常重要的内容,学习和理解起来比较困难。如果仔细读了奥本海姆那本经典教材,应该可以弄懂这个概念。本文会将教材中的公式推导和形象的例子结合起来,希望能把卷积讲清楚。

廷杖,俗称打板子,是古代很常见的刑罚,我们经常在电视剧里看到知县下令把犯人拖下去打几十大板的情节。现在研究廷杖对人体的伤害,输入信号是臀部受到板子的冲击力随时间变化的函数\(x(t)\),输出信号是身体的痛苦程度随时间变化的函数\(y(t)\)。假设知县对执行廷杖的两人要求非常高,首先,在受刑的整个过程犯人的臀部都能感受到打击,即\(x(t)\)是连续时间信号,而不是脉冲信号;其次,知县可以安排不同的打法,比如「先轻后重」、「先重后轻」、「轻重交替」、「平均用力」等等,即使给出\(x(t)\)的函数表达式,两人都能够正确执行。

两人经过多年的磨炼,技术达到了炉火纯青的地步,一左一右配合非常默契。一人的板子离开犯人的臀部,另一人的板子能够立刻衔接上去,让犯人感觉到臀部一直在受力。每次打击在犯人臀部上作用的时间非常短,在整个作用时间内力度是均匀的。为了在数学上描述每次打击,介绍如下的矩形脉冲信号

\[ \begin{equation} \delta_{\Delta}(t) = \begin{cases} 1/\Delta, & 0 \le t < \Delta \\ 0, & 其他 \end{cases} \end{equation} \]

这个信号在时间\(0 \le t < \Delta\)的值为\(1/\Delta\),其余时间为\(0\),函数图像是宽度为\(\Delta\)、高度为\(1/\Delta\)、面积为\(1\)的矩形。那么\(\delta_{\Delta}(t) \cdot \Delta\)就是宽度为\(\Delta\),高度为\(1\)的信号,我们用这个信号来描述从\(0\)时刻开始作用、持续时间为\(\Delta\)、力度为一个单位的一次打击。

\(\delta_{\Delta}(t)\)沿着时间轴平移时间\(k\Delta\)得到信号\(\delta_{\Delta}(t-k\Delta)\),它从\(k\Delta\)时刻开始作用,持续时间为\(\Delta\)。那么信号\(x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta) \Delta\)表示力度为\(x(k\Delta)\)、从\(k\Delta\)时刻开始作用、持续时间为\(\Delta\)的一次打击。整个廷杖过程可以看成发生在不同时刻的每板打击的叠加,所以输入信号\(x(t)\)可以用如下的阶梯信号\(\hat{x}(t)\)来近似

\[ \begin{equation} \hat{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta) \Delta \end{equation} \]

\(\hat{x}(t)\)就是发生在所有不同时刻的矩形脉冲的叠加。随着\(\Delta\)趋近于\(0\),阶梯信号的锯齿越小,\(\hat{x}(t)\)将越来越趋近\(x(t)\),用公式描述就是

\[ \begin{equation} x(t) = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(k\Delta)\delta_{\Delta}(t-k\Delta) \Delta \end{equation} \]

\(\Delta \to 0\)时,\(\delta_{\Delta}(t)\)的极限就是单位冲激函数\(\delta(t)\)。将求和符号变成积分符号、\(k\Delta \to \tau\)\(\Delta \to d\tau\),得

\[ \begin{equation} x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) d \tau \end{equation} \]

任意的输入信号\(x(t)\)转化成了单位冲激函数\(\delta(t)\)的叠加。

假设已知单位力度的打击下身体痛苦程度随时间变化的函数,也就是单位冲激响应\(h(t)\),从常理推断,该函数的曲线是先上升后逐渐衰竭到\(0\)。假设人体是个线性时不变系统,根据时不变性质,当输入信号延迟时间\(\tau\)时,响应也会延迟同样的时间\(\tau\),即输入为\(\delta(t-\tau)\)时,输出变为\(h(t-\tau)\)。根据线性系统的齐次性,将打击力度放大某个倍数,痛苦程度也会放大相同的倍数,即输入为\(x(\tau)\delta(t-\tau)\)时,输出变为\(x(\tau)h(t-\tau)\)。根据线性系统的可加性,多次打击产生的伤害就等于每次打击单独作用的和,积分其实就是求和。综上所叙,连续打击产生的痛苦,即系统的输出

\[ \begin{equation} y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau \end{equation} \]

\((5)\)就是著名的卷积公式。还可以使用如下的记号表示两个信号的卷积

\[ \begin{equation} x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau \end{equation} \]

卷积的基本思想是,将输入信号转化成发生在不同时刻的冲激信号的叠加,已知系统对单位冲激信号的响应,将每一时刻的响应叠加起来就得到了总的响应。从上面的推导过程可以看出,正因为系统的线性和时不变性质,才得到了非常简洁漂亮的表达式。

那么,已知系统的单位冲激响应\(h(t)\),想计算任意输入信号\(x(t)\)作用下系统的输出\(y(t)\),只要将\(x(t)\)\(h(t)\)做卷积就可以了,所以单位冲激响应能完全描述这个系统的特性。因此,卷积在时域分析中非常重要。