尝试下Amann的数学分析

最近非常浮躁,不知道该做些什么,也难以专注做一件事。迷茫的时候去学点数学准没错。我想尝试下Amann和Escher合著的Analysis,一共有3卷,是德语国家常用的数学分析教材。

我选择它最大的原因是它包含了数学系本科要学的大部分内容,比如实分析、复分析、泛函分析、拓扑学、抽象代数等等,虽说很多都讲得不深入,但用来开拓眼界和补足数学基础也足够了。知乎上有位网友如此评论这本书:

至少学完测度与积分部分,本科的实分析可以不用学了,复分析与微分流形已经入门了。并且从极限开始,大部分内容都是在常见的空间上讨论的,比如度量空间、Banach空间,这样对于常见的泛函空间也都熟悉了。很多内容都建立在群环域代数上,对学习抽象代数也有帮助。

此外,它的写法很现代,在更普遍的意义下讨论问题。国外网友详细描述了该书的特点,翻译如下:

Amann和Escher的教材很好。它是为德国本科生编写的,他们在大学前3个学期学习该课程。所以这本书的开头有一些预备知识,因为有的学生从未接触过基于证明的数学。

该教材的基本哲学是使用自顶而下的描述方法,从一般的情况出发引入概念,而不专注于某个特殊情况。比如,讨论收敛时引入度量空间,讨论连续时引入拓扑空间,讨论Fourier级数时引入Hilbert空间的正交基等等。其他教材多从特殊情况开始,比如可能先讨论实数的收敛,然后再引入度量空间。这种方法成功的例子是处理介值定理:没有从\(\epsilon\)语言开始,而是先介绍连通拓扑空间,然后给出介值定理的概念性证明,即,连通映射将连通集映射到连通集上。

如果你读完教材的全部3卷,你会学到统一的分析方法,这种方法从最基础的内容开始介绍,覆盖测度理论、全纯函数、流形上的积分、Fourier变换等高级内容。

原书是用德语写的,没有中文版,但有英文翻译版。东南大学李逸教授的主页上有他写的「基本分析讲义」,大量内容参考了Amann的书,配合这本讲义学习会很有帮助。