控制理论的经典实例：单摆系统
单摆系统
最近几个学期我在上「自动控制原理」课程，在讲解「控制系统的数学模型」这部分内容时，我使用了经典的单摆系统模型作为实例，在课堂上取得了不错的效果。
「控制系统的数学模型」这章首先介绍了如何建立控制系统的微分方程模型，这是对系统进行控制和分析的基础和前提；其次，它介绍了线性定常系统，这是课程中主要研究的一类系统；最后，它介绍了如何利用Laplace变换法求解微分方程，经典控制理论最重要的概念「传递函数」就是在微分方程求解过程中引入的。该部分内容涉及到较多的理论推导，学生很容易产生畏惧心理，从而影响学习效果。因此，应精心挑选优秀的实例进行讲解。我认为，优秀的实例应该具备如下几个特征：
- 能充分支持知识点的讲解；
- 难度不大，学生容易掌握；
- 学生感兴趣；
- 一个实例可用于多个知识点的讲解。
单摆系统这个实例满足上述所有的特征。下面简单介绍我的教学过程。
模型的建立
首先是控制系统微分方程的建立。将单摆的摆线拉开一个小的初始角度\(\theta_0\)后松开，需计算摆线角度\(\theta\)随时间变化的规律。通过简单的力学分析，可得到理想条件下系统的微分方程
\[ \frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}t^2} + \frac{g}{l} \sin \theta = 0 \]
该系统的输出是摆线的角度\(\theta\)，无输入信号，初始状态为\(\theta(0)=\theta_0\)，\(\theta^{'}(0)=0\)，这就是单摆系统的数学模型。
线性定常系统
然后是线性定常系统的概念。得到了各类系统的微分方程后，可以根据方程的形式对系统进行分类，线性定常微分方程所描述的线性定常系统也称为线性时不变系统，在课程中占据重要的地位。因为单摆模型的微分方程中有非线性项\(\sin\theta\)，所以单摆系统是非线性系统。
线性化
接下来是非线性微分方程的线性化。正因为线性定常微分方程具有良好的性质，在条件满足的情况下，可将非线性系统线性化以简化分析过程。教材上给出了线性化的理论推导，但没有介绍实例。单摆系统的线性化则是非常好的实例。
当使用弧度制，\(\theta \ll 1\)时，有\(\sin \theta \approx \theta\)，正弦函数在原点附近的线性度非常好，这点可在课堂上可通过MATLAB软件画图演示。所以，单摆的非线性微分方程在摆角很小时可线性化为
\[ \frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}t^2} + \frac{g}{l} \theta = 0 \]
这是个二阶线性定常微分方程。
微分方程求解
最后是使用Laplace变换法求解线性定常微分方程。对方程两边进行Laplace变换，考虑初始条件，得
\[ s^2 \Theta(s) - s \theta(0) - \theta^{'}(0) + \frac{g}{l} \Theta(s) = 0 \]
将初始条件代入，整理得到输出的Laplace变换表达式
\[ \Theta(s) = \frac{\theta_0 s}{s^2 + g/l} \]
通过查表法即可得到Laplace反变换，也就是时域中的解析解
\[ \theta(t) = \theta_0 \cos (\sqrt{\frac{g}{l}t}) \]
即摆角的变化遵循简谐运动的规律。根据正弦函数的周期计算公式，很容易得到单摆的摆动周期为
\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]
总结
可以发现，单摆系统这个实例满足了前面提到的优秀实例应该满足的条件：
- 一个实例充分支撑了多个内容的讲解；
- 模型虽是非线性的，但可以通过简单的数学知识将其线性化；
- 得到输出的拉氏变换表达式后，通过查表法即得到时域中的解析表达式，求解过程足够简单；
- 学生在中学阶段就学过单摆的周期表达式，但不知道如何得来，对它比较感兴趣。
所以，单摆系统是非常优秀的实例。从课堂效果来看，学生对单摆的模型推导、非线性方程的线性化以及微分方程的求解过程展现了强烈的兴趣，推导出熟悉的单摆周期公式后，学生觉得很有意思，气氛比较活跃，取得了不错的教学效果。