线性空间
定义
空间是数学中常见的概念，我的理解是，空间就是个集合，不同空间的元素有不同的运算，满足不同的性质。
线性空间的定义中提供了一个数域和一个集合。集合提供元素，元素之间有加法运算。数域提供一个数，数域和集合之间定义了数乘运算，加法和数乘要满足8条运算规则：加法交换律、加法结合律、加法有零元素、加法有负元素、数乘有单位元素、数乘元素的分配律、数乘乘数的分配律、数乘结合律。线性空间是众多不同研究对象的抽象和概括。
线性关系
线性组合、线性相关和线性无关是向量之间最基本的关系，是线性空间理论中非常重要的内容。向量线性相关的表达式对应一个线性方程组，用Gauss消元法求解线性方程组时，有的方程可以消去，最后剩下的方程对应的行向量线性无关，称为原向量组的极大无关组。极大无关组所含向量的个数称为秩。线性空间的极大无关组是空间的基，所含向量的个数就是空间的维数。
矩阵的秩
矩阵行向量和列向量的秩相等，即矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩，所以秩相等的矩阵是等价的。矩阵通过初等变换可以得到阶梯矩阵，阶梯矩阵非零行的个数就是原矩阵的秩。满秩的方阵经初等变换得到的阶梯矩阵对角线不全为零，行列式不等于零。
同构
在线性空间中引进基后，可以用坐标表示空间中的向量。空间中的向量既可以用基的线性组合（在线性空间中）表示，也可以用坐标（在维空间中）表示，与之间存在一个映射。是一一映射，还保持了线性关系，所以与这两个线性空间同构。可以这么理解，同构的线性空间在本质上是一样的，只是元素的表达形式不同而已。同构有个重要的结论：数域上的有限维空间同构的充要条件是它们的维数相同。所以，我们常常通过研究来探讨一般维线性空间的性质。
基变换
线性空间的基变化后，坐标也会变化。假设数域上线性空间的两组基有如下关系：
用矩阵乘法表示为
右边的矩阵称为从基到基的过渡矩阵，是系数矩阵的转置。中的向量在两组基下有不同的坐标，有
很容易推出两组基下的坐标之间有如下关系
子空间
若线性空间的非空子集中任意向量的线性组合依然在中，则是的线性子空间。子空间有交与和，而且它们都是的子空间。线性空间的子集中向量所有可能的线性组合可以构成一个子集，它也是的子空间，称为由生成的子空间或张成的子空间。空间与交空间之间的维数公式为
是直和的充要条件是，此时有
此时，可记作，充要条件还有：和的一组基可以拼成的一组基，中的向量表示为中的向量之和时其表示唯一。这个概念和相关结论可以推广到多个子空间的直和。
线性映射
线性映射与矩阵
具有线性性质的映射就是线性映射，如果该映射是双射，则称它为线性同构，简称同构。集合到自身的线性映射称为线性变换。列向量空间的线性映射可以用矩阵来定义。
现假设数域上的维线性空间有一组基，数域上的维线性空间有一组基，是的线性映射，而且的基向量在下的像已知，有
用矩阵乘法形式表示更为紧凑
中的向量的坐标已知
那么将中的映射到中的，有
所以在的基下的坐标为
上面的这个矩阵称为在已给定基与下的表示矩阵。涉及到多个空间之间的映射时，则要多乘几个矩阵。矩阵乘法的几何意义是线性映射的复合，所以可以使用矩阵（代数工具）来研究线性映射（几何对象）。
类似地，要研究同一个线性映射在不同基下的表示矩阵。假设在两组基下的表示矩阵分别为和，且两组基之间的过渡矩阵为，那么有。如果和为方阵，且是非奇异阵，则称与是相似矩阵。方阵表示的线性映射是线性变换，线性变换在不同基下的表示矩阵是相似的。后面会学习到，可以找到一组适当的基，使得线性变换在这组基下的表示矩阵具有简单的形状。
线性映射的像与核
线性映射，的全体像元组成的子集称为的像，记为。中在下映射为零向量的全体向量构成的子集，称为的核，记为。像与核分别是值域和定义域的子集，而且都是各自的子空间，即是的子空间，是的子空间。在给定基下的表示矩阵为，它们的维数有如下结论
不变子空间
是上的线性变换，是的子空间，如果，则称是的不变子空间。零子空间、全空间、的像、的核，都是的不变子空间。
如果，其中每个都是线性变换的不变子空间，那么中存在一组基（可由的基合并而成），使得在这组基下的表示矩阵为分块对角矩阵，其中的小分块为在各不变子空间下的表示矩阵。如果有个一维不变子空间，而且直和构成全空间，那么表示矩阵就变成了对角阵。这个结论在标准型理论中很重要。