线性代数：行列式和矩阵

开个头

我打算将线性代数的重要内容过一遍，根据自己的理解将核心内容（简单的内容就不多费笔墨了）描述出来，尽量少摆公式。主要参考资料是复旦大学的高等代数教材，可以搭配谢启鸿的视频学习。

行列式

网上似乎有个定论，第一章讲行列式的线性代数教材都不是好教材，但复旦大学这本是例外。它从求解二元一次方程组出发，引入二阶行列式，总结出二阶行列式的性质，然后根据这些性质，用二阶行列式来定义三阶行列式，最后将定义和性质推广到一般的阶行列式。阶行列式可以用阶行列式定义，最终可以将高阶行列式的计算归结到二阶行列式的计算，这种递归定义比逆序数那种变态的定义更容易接受，不至于让初来乍到人生地不熟的大一新生绝望。

恩，还是堆几个公式吧。二元一次方程组

的解可以用二阶行列式表示（你一定会想起Cramer法则）

其中，二阶行列式定义为一个数

三阶行列式用二阶行列式定义为

在上述过程中，很自然地看出行列式按一行或一列展开的展开式，后面的低阶行列式是代数余子式。另外，元线性方程组的解可以用非常整齐的行列式表示，这就是在理论上非常重要的Cramer法则。从定义式计算行列式很复杂，要反复利用性质，尽可能多地使行列式的元素变为零，从而简化计算。

矩阵

矩阵的所有运算中，乘法是重点。利用矩阵乘法法则，线性方程组可以表示成非常简洁的形式。方阵逆矩阵的计算与伴随矩阵和行列式有关，矩阵行列式不等于零时逆矩阵才存在。

Gauss消元法解线性方程组的三种基本操作对应矩阵的三种变换，称为初等变换，通过初等行变换和初等列变换可以将矩阵化为阶梯形矩阵。初等变换对应着初等矩阵，将矩阵左乘初等矩阵相当与对它做初等行变换，将矩阵右乘初等矩阵相当与对它做初等列变换。经有限次初等变换得到的矩阵与原矩阵等价，或称两个矩阵相抵。根据初等变换法可以得到求逆矩阵的高效算法。

将矩阵分块可以简化矩阵运算。分块矩阵的乘法与普通矩阵的乘法在形式上类似，只是在处理块与块之间的乘法时必须保证符合矩阵相乘的条件。看一个例子就能明白，下面这两个矩阵，左边分成个块，右边分成块，所以分块符合乘法规则，得到的结果是块，每一块为对应位置的分块相乘的结果，各个相乘的小块也符合乘法规则。

线性代数中很多地方不经意间用到了分块矩阵相乘的结果，例如很常见的

即，矩阵和列向量相乘等价于矩阵各个列向量的线性组合。