Amann数学分析：基础知识

启程

2022年初，我想尝试下Amann的数学分析，这个很深的坑从这篇文章开始挖起。本系列文章将首先翻译前言，梳理核心内容和脉络，然后总结学习过程中的重要思考和理解，重点关注我以前从未接触过的内容。

前言

这一章的大部分内容涉及数字——自然数、整数、实数和复数。如果对这些数字没有清晰的理解，深入研究数学是不可能的。因此，深入讨论数字系统是绝对必要的。

为此，我们选择对这些数字系统进行推导性的构造。从自然数的皮亚诺公理开始，我们逐步构造整数、有理数、实数，最后是复数。在每一步，我们都希望解释某些「自然」出现的公式。这些构造相对较长，需要读者有相当的耐心，那些坚持下去的将得到大量数学思维训练。

甚至在我们讨论最简单的数字系统——自然数之前，我们都必须考虑一些集合论的基本原理。这里的主要目的是发展精确的数学语言。逻辑和集合论公理基础超出了本书的范围。

读者可能对第1-4节的一些内容很熟悉。即便如此，我们故意避免依赖读者的直觉和以往经验，而选择了一个相对抽象的框架来进行阐述。特别地，我们严格避免使用未经精确定义的概念，并避免使用未经证明的声明。学生从一开始就学会根据定义推导定理，而不引入虚假的额外假设，这非常重要。

从最简单的数字系统——自然数过渡到最复杂的数字系统——复数，所需的代数知识越来越复杂。因此，在第7-8节，我们彻底讨论了最重要的代数概念。在这里，我们再次选择了抽象的方法，目标是让初学者熟悉出现在本书后面章节以及数学中的某些结构。

更深入理解这些概念是（线性）代数的目标，而在相关文献中，读者将找到许多其他应用。代数的目标是推导出在满足某些小的公理集的系统中成立的规则。发现这些公理在数学分析的复杂问题中成立将使我们认识到不同情况下的潜在统一性，并对原本难以掌控的数学领域有一个概览。此外，读者应该从一开始就看到数学是个整体——它不是由相互孤立的研究领域组成的。

由于初学者通常会在学习数学分析的同时学习线性代数，所以在讨论代数时只限于基本内容。要介绍哪些代数概念由后续章节的需要而定。这在第12节的材料中尤为明显，即向量空间和代数。我们将经常遇到这些内容，例如在深入研究数学分析时，它们以函数代数的形式出现。

通过介绍很多应用，这一章的略显「枯燥」的内容变得更吸引人。正如前面提到的，我们希望培养读者只使用先前已经被证明的内容，因此，最初我们只能使用非常简单的「内部」例子。在后面的章节中，这种限制变得不那么严格，例如，第12节中对插值问题的讨论就显示了这一点。

我们提醒读者，本书旨在作为数学分析课程的教材或自学用书。因此，在这一章中，我们更加详尽，覆盖的内容比在教学中的更多。我们鼓励读者仔细学习这些「基础知识」。在第一次阅读时，定理5.3、9.1、9.2和10.4的证明可以跳过。在以后，当读者对证明更加熟悉时，应该填补这些空缺。

内容

第一章的重点是实数理论，当时读了几节，觉得太严密、细致和枯燥，就没有读完。最近我开始读第二章，读完后会写篇总结。为保持完整性，所以将第一章先放在这里占个坑。