H无穷大状态观测器设计与仿真

发表于 2024-10-18 分类于大学课程 Waline：本文字数： 1.4k 阅读时长 ≈ 5 分钟

系统模型

本文介绍如下形式线性系统的状态观测器设计：

相比于标准状态空间模型，还考虑了扰动信号的影响。是测量输出，可看成是传感器系统模型，是系统输出。目标是设计一个全阶状态观测器，使得扰动信号对状态估计误差的影响足够小。

状态观测器设计

采用如下形式的观测器：

稍微推算下就能发现，与所描述的观测器等价：

它其实就是倒立摆的状态观测器设计中采用的Luenberger状态观测器，仅仅只是正负号不同，在理论分析和仿真时要注意这点。接下来便是一些常规的理论推导：

所示的动态方程描述了状态估计误差和系统输出估计误差之间的关系。还得到了从到的传递函数，要使它的范数尽量小，就能抑制扰动信号对系统输出估计误差的影响。

问题描述

下图中的问题描述了状态观测器的目标，如果，那么状态估计误差就会趋于零。

观测器反馈矩阵

接下来要求解状态观测器反馈矩阵，有如下定理：

求解上面的线性矩阵不等式（LMI）问题即可得到矩阵，可以在MATLAB中使用YALMIP求解。

状态反馈控制器

接下来利用观测器得到的状态估计设计控制器，采用如下状态反馈控制律，为和前面的在形式上保持一致，没有加负号：

根据控制性能指标要求选取合适的矩阵。将代入到中可得

将和合并，得到如下矩阵方程

系统状态和状态估计误差可以在仿真中直接得到，为了看到输出估计误差，将系统输出方程设置为

根据即可设计基于状态估计的反馈控制器。

仿真设计与结果

最后通过仿真验证状态观测器对扰动信号的抑制能力。最好将矩阵的求解、观测器设计和控制器设计的代码放到同一个文件中，这样就能使用最精确的矩阵。MATLAB的默认输出精度是小数点后4位，根据我的经验，的舍入误差对观测器性能影响较大。

下面的代码带有矩阵维数检查，对于不同的模型，只需要做少量修改既可运行：

%% Model described by (9.22)
n = 3;  % dimension of state x
l = 2;  % dimension of measured state y
m = 2;  % dimension of output z
p = 1;  % dimension of disturbance w
r = 2;  % dimension of input u

% n by n matrix
A = [2.8982, -3.1606,  0.6816;
     6.3595, -4.2055,  4.5423;
     3.2046, -3.1761, -3.8142];
if ~isequal(size(A), [n, n])
    fprintf('Dimension of A is wrong!!\n');
end
% n by r matrix
B1 = [2.0310,  1.2164;
      0.4084,  0.2794;
     -0.7775, -0.3307];
if ~isequal(size(B1), [n, r])
    fprintf('Dimension of B1 is wrong!!\n');
end
% n by p matrix
B2 = [-0.0785;
      -0.0853;
      -0.0986];
if ~isequal(size(B2), [n, p])
    fprintf('Dimension of B2 is wrong!!\n');
end
% l by n matrix
C1 = [-0.8778, -4.9442, -4.5084;
       4.0161, -2.0259,  1.9318];
if ~isequal(size(C1), [l, n])
    fprintf('Dimension of C1 is wrong!!\n');
end
% l by r matrix
D1 = [0.6004,  0.2107;
      1.9320, -0.3997];
if ~isequal(size(D1), [l, r])
    fprintf('Dimension of D1 is wrong!!\n');
end
% l by p matrix
D2 = [0.0330;
     -0.0414];
if ~isequal(size(D2), [l, p])
    fprintf('Dimension of D2 is wrong!!\n');
end
% m by n matrix
C2 = [0.9607, 1.5600, 2.8558;
     -2.4371, 1.3634, 0.0095];
if ~isequal(size(C2), [m, n])
    fprintf('Dimension of C2 is wrong!!\n');
end

%% Solve LMI to get L
yalmip('clear')

gamma = 1e-8;
P = sdpvar(n, n);
W = sdpvar(n, l, 'full');
M = [A'*P+C1'*W'+P*A+W*C1, P*B2+W*D2, C2';
     (P*B2+W*D2)', -gamma*eye(p), zeros(p, m);
     C2, zeros(m, p), -gamma*eye(m)];

Constraints = [P >= 0; M <= 0];
Objective = [];
options = sdpsettings('verbose', 0);  % 1: print verbose
sol = optimize(Constraints, Objective, options);

if sol.problem == 0
    L = value(P)\value(W);
else
    disp('Hmm, something went wrong!');
    sol.info
    yalmiperror(sol.problem)
end

%% State observer, observer-based controller
% Pole placement to get K
poles = [-5; -7+7j; -7-7j];
K = place(A, -B1, poles);
% Build the model of (5)(6)
Aco = [A+B1*K, B1*K;
       zeros(size(A)), A+L*C1];
Bco = [B2; B2+L*D2];
Cco = [zeros(size(C2)), C2]; Dco = 0;
sys_co = ss(Aco, Bco, Cco, Dco);
% Run lsim to simulate
t = 0:0.01:4;
xe0 = zeros(6, 1);
w = wgn(1, length(t), 100, 'real');     % while noise with power of 100dBW
[zt, t, xe] = lsim(sys_co, w, t, xe0);  % save output in zt, save state in xe
% Plots
subplot(311); plot(t, w, 'LineWidth', 1); grid on
subplot(312); plot(t, xe(:, 4:6), 'LineWidth', 1); grid on
subplot(313); plot(t, zt(:, 1:2), 'LineWidth', 1); grid on

得到扰动信号、状态估计误差和输出估计误差随时间变化的曲线如下：

很明显，所设计的状态观测器对扰动信号有很强的抑制能力，达到了要求的性能。