动态系统相图及MATLAB绘制方法

发表于 2023-02-19 分类于大学课程 Waline：本文字数： 1k 阅读时长 ≈ 4 分钟

自治系统

许多动态系统的物理规律可以用常微分方程描述。对于一般的（非线性时变）系统，微分方程为如下形式：

\[ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}, \mathbf{u}) \tag{1} \]

其中\(\mathbf{x}\)是系统状态，\(\mathbf{u}\)是外部输入信号，\(t\)表示系统运行规律随时间变化。如果没有外部输入信号，而且\(\mathbf{f}\)与时间\(t\)无关，则\((1)\)变成如下形式： \[ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}) \tag{2} \]

这样的系统称为自治系统（autonomous system）或时不变系统（time-invariant system）。

相图及绘制原理

二阶自治系统在系统分析中有重要的地位，因为方程的解可以表示为平面上的曲线，也就是相图（phase portrait），相图是控制理论中分析非线性系统的重要工具。将\((2)\)写成如下形式： \[ \begin{cases} \dot{x}_1(t) = f_1(x_1, x_2) \\ \dot{x}_2(t) = f_2(x_1, x_2) \end{cases} \tag{3} \]

令\(\mathbf{x}(t) = \left[x_1(t), x_2(t) \right]^{\mathsf{T}}, t\ge 0\)是方程\((3)\)的解，初值条件为\(\mathbf{x}(0) = \left[x_{10}, x_{20} \right]^{\mathsf{T}}\)。解\(\mathbf{x}(t)\)在\(x_1 - x_2\)平面上的轨迹就是一条经过点\(\mathbf{x}(0)\)的曲线，这有点类似于参数方程的图像。

方程\((3)\)的右边正好是\(\mathbf{x}(t)\)的梯度\(\left[\dot{x}_1(t), \dot{x}_2(t) \right]^{\mathsf{T}}\)，由此可以得到\(\mathbf{x}(t)\)曲线上某点的切线方向，因此，\(\mathbf{f} = \left[f_1, f_2 \right]^{\mathsf{T}}\)是平面的向量场（vector field）。先画出向量场，从某初值点出发，选择合适的步长沿着梯度方向绘制一条轨迹，即对应方程在该初值条件下的解。选择多个初始点，绘制多条轨迹以足够展示系统的特征，即得到相图。

MATLAB绘制方法

有了上面的方法，可以用熟悉的软件绘制相图，但想画得美观并不容易。本文以MATLAB为例，绘制一个简单线性系统的相图，系统微分方程为： \[ \begin{cases} \dot{x}_1 = -x_1 + x_2 \\ \dot{x}_2 = -x_2 \end{cases} \tag{4} \]

绝大多数非线性微分方程难以求出解析解，实际中一般计算其数值解，系统\((4)\)的解析解虽然容易得到，但为了保持一般性，我们还是求它的数值解。首先要创建一个函数表示该系统，供后续ode45函数调用：

1
2
3

function dxdt = simple(t, x)
    dxdt = [-x(1) + x(2); -x(2)]; % 将(4)式表示为向量形式
end

通过如下代码画出系统的向量场：

% 合理选择坐标轴范围，让图形直观美观
[X1, X2] = meshgrid(-2:0.2:2, -2:0.2:2);
% 根据(3)式右边的f(x)计算梯度
X1dot = -X1 - X2;
X2dot = -X2;
% 用quiver函数画向量场，会自动调节箭头大小
quiver(X1, X2, X1dot, X2dot)

箭头表示梯度的方向和大小，所以从向量场就能大致看出该系统相图的特征，然后选取合适的初值点，绘制多条相轨迹。本例中，很容易看出，从任何点出发的轨迹最终都会汇聚到坐标原点，原点的梯度为零，是平衡点（equilibrium point）。选取左上角的点为初值点，如下代码求出微分方程的数值解，并将轨迹绘制到向量场上：

x0 = [-2, 2];
tspan = [0:0.1:10];  % 时间范围要稍微选大点，不然离极限值太远
[~, x] = ode45(@simple, tspan, x0);
hold on; plot(x(:, 1), x(:, 2))

本例中，可以在图像的边缘等间隔取一些初值点，绘制多条轨迹得到相图，如下图所示：

很容易从相图看出，系统是渐进稳定的（asymptotically stable）。上面的图相当漂亮，这样的话，课件中的图形质量就有保障了。

自治系统

相图及绘制原理

MATLAB绘制方法

参考资料