控制系统的输入到状态稳定性

概念引入

稳定性是控制理论的核心概念。最近通过阅读Applied Nonlinear Control和Nonlinear Systems两本书系统学习Lyapunov稳定性理论,想粗读这部分内容可参考这个材料。本文介绍比较少见的输入到状态稳定性(input-to-state stability)。

对于一般的控制系统

\[ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}, \mathbf{u}) \tag{1} \]

假设它满足微分方程解存在和唯一的条件。当没有外部输入时,假设如下非强迫系统(unforced system)

\[ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}, \mathbf{0}) \tag{2} \]

有一个全局一致渐进稳定(globally uniformly asymtotically stable)的平衡点\(\mathbf{x} = \mathbf{0}\)。但是,当给定一个有界的外部输入\(\mathbf{u}(t)\)时,系统\((1)\)的状态\(\mathbf{x}(t)\)有可能是无界的。举个例子,如下的非线性系统

\[ \dot{x}=-3x+(1+2x^2)u \tag{3} \]

\(u=0\)时,容易验证系统\((3)\)有一个全局指数稳定(globally exponentially stable)的原点。但是,当初值条件\(x(0)=2\)且外部输入\(u(t)\equiv 1\)时,微分方程方程的解\(x(t)=(3-e^t)/(3-2e^t)\)是无界的。

由此可知,经典的Lyapunov稳定性理论主要针对平衡点附近的稳定性,无法应对外部输入作用下系统的稳定性。Eduardo Sontag在1989年提出的输入到状态稳定性解决了这个问题。

稳定性定义

输入到状态稳定性的定义:对于系统\((1)\),如果存在一个\(\mathcal{KL}\)类函数\(\beta\)和一个\(\mathcal{K}\)类函数\(\gamma\),使得对任意初始状态\(\mathbf{x}(0)\)和任意有界输入\(\mathbf{u}(t)\),存在解\(\mathbf{x}(t)\)对所有的\(t\ge 0\)都满足

\[ \left \| \mathbf{x}(t) \right \| \le \beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t) + \gamma(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty}) \tag{4} \]

则称系统\((1)\)是输入到状态稳定的。

一些论文将\(\gamma\)定义为\(\mathcal{K}_{\infty}\)类函数,其实差别不大。为了理解上述定义,需要了解比较函数(comparision function)的概念。

比较函数

下面给出\(\mathcal{K}\)类函数、\(\mathcal{K}_{\infty}\)类函数和\(\mathcal{KL}\)类函数的定义:

  1. 连续函数\(\gamma: \left [ 0, a \right ) \to \left [ 0, \infty \right )\)\(\mathcal{K}\)类函数,如果\(\gamma\)是严格递增函数且\(\gamma(0)=0\)。所以,\(\mathcal{K}\)类函数的图像从原点出发,严格单调递增。
  2. 连续函数\(\alpha: \left [ 0, a \right ) \to \left [ 0, \infty \right )\)\(\mathcal{K}_{\infty}\)类函数,如果\(\alpha\)\(\mathcal{K}\)类函数,且有\(a=\infty\)\(r\to\infty\)\(\alpha(r)\to\infty\)\(\mathcal{K}_{\infty}\)类函数与\(\mathcal{K}\)类函数主要是定义域的区别。
  3. 连续函数\(\beta: \left [ 0, a \right ) \times \left [ 0, \infty \right ) \to \left [ 0, \infty \right )\)\(\mathcal{KL}\)类函数,如果对于固定的\(s\),函数\(\beta(r,s)\)\(\mathcal{K}\)类函数;对于固定的\(r\),函数\(\beta(r,s)\)关于\(s\)严格递减,且当\(s\to\infty\)\(\beta(r,s)\to 0\)

物理意义

零输入响应

讨论系统\((1)\)的零输入响应,即假设系统无输入信号,\(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty}=0\),则有\(\gamma(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty})=0\),那么\((4)\)式变为

\[ \left \| \mathbf{x}(t) \right \| \le \beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t) \tag{5} \]

分析可得如下结论:

  1. 对于固定的初值条件\(\mathbf{x}(0)\)\(\beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t)\)关于时间\(t\)严格递减,且\(t\to\infty\)时,\(\beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t) \to 0\),则系统状态值随时间推移单调递减趋于零,这种情况下,输入到状态稳定与全局渐进稳定是等价的
  2. 对于固定的时间\(t\)\(\beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t)\)\(\mathcal{K}\)类函数,所以\(\beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t)\)关于\(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|\)单调递增;且有\(\beta(\mathbf{0},t)=0\),则系统初始值越大,状态值越大,初始值为零,任意时刻的状态值也为零

零状态响应

讨论系统\((1)\)的零状态响应,即假设系统初始状态为零,\(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|=\mathbf{0}\),那么对于某个特定时刻\(t\)\(\beta(\mathbf{0},t)=0\),所以\(t\)时刻的状态值满足不等式

\[ \left \| \mathbf{x}(t) \right \| \le \gamma(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty}) \tag{6} \]

可得到如下结论:函数\(\gamma\)严格递增,且输入\(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty}=0\)时,\(\gamma(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty})=0\),则系统输入的幅值为零时状态值也趋于零,而且状态值与输入的幅值成正比,此时的\(\gamma\)称为增益。

参考资料

  1. Input-to-state stability
  2. Nonlinear Systems - Khalil
  3. Class kappa-ell function
  4. Input-to-State Stabilizing Control Under Denial-of-Service