系统的输入到状态稳定性
概念引入
稳定性是控制理论的核心概念。最近通过阅读Applied Nonlinear Control和Nonlinear Systems两本书系统学习Lyapunov稳定性理论，想粗读这部分内容可参考这个材料。本文介绍比较少见的输入到状态稳定性（input-to-state stability）。
对于一般的控制系统
\[ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}, \mathbf{u}) \tag{1} \]
假设它满足微分方程解存在和唯一的条件。当没有外部输入时，假设如下非强迫系统（unforced system）
\[ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}, \mathbf{0}) \tag{2} \]
有一个全局一致渐进稳定（globally uniformly asymtotically stable）的平衡点\(\mathbf{x} = \mathbf{0}\)。但是，当给定一个有界的外部输入\(\mathbf{u}(t)\)时，系统\((1)\)的状态\(\mathbf{x}(t)\)有可能是无界的。举个例子，如下的非线性系统
\[ \dot{x}=-3x+(1+2x^2)u \tag{3} \]
当\(u=0\)时，容易验证系统\((3)\)有一个全局指数稳定（globally exponentially stable）的原点。但是，当初值条件\(x(0)=2\)且外部输入\(u(t)\equiv 1\)时，微分方程方程的解\(x(t)=(3-e^t)/(3-2e^t)\)是无界的。
由此可知，经典的Lyapunov稳定性理论主要针对平衡点附近的稳定性，无法应对外部输入作用下系统的稳定性。Eduardo Sontag在1989年提出的输入到状态稳定性解决了这个问题。
稳定性定义
输入到状态稳定性的定义：对于系统\((1)\)，如果存在一个\(\mathcal{KL}\)类函数\(\beta\)和一个\(\mathcal{K}\)类函数\(\gamma\)，使得对任意初始状态\(\mathbf{x}(0)\)和任意有界输入\(\mathbf{u}(t)\)，存在解\(\mathbf{x}(t)\)对所有的\(t\ge 0\)都满足
\[ \left \| \mathbf{x}(t) \right \| \le \beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t) + \gamma(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty}) \tag{4} \]
则称系统\((1)\)是输入到状态稳定的。
一些论文将\(\gamma\)定义为\(\mathcal{K}_{\infty}\)类函数，其实差别不大。为了理解上述定义，需要了解比较函数（comparision function）的概念。
比较函数
下面给出\(\mathcal{K}\)类函数、\(\mathcal{K}_{\infty}\)类函数和\(\mathcal{KL}\)类函数的定义：
- 连续函数\(\gamma: \left [ 0, a \right ) \to \left [ 0, \infty \right )\)是\(\mathcal{K}\)类函数，如果\(\gamma\)是严格递增函数且\(\gamma(0)=0\)。所以，\(\mathcal{K}\)类函数的图像从原点出发，严格单调递增。
- 连续函数\(\alpha: \left [ 0, a \right ) \to \left [ 0, \infty \right )\)是\(\mathcal{K}_{\infty}\)类函数，如果\(\alpha\)是\(\mathcal{K}\)类函数，且有\(a=\infty\)，\(r\to\infty\)时\(\alpha(r)\to\infty\)。\(\mathcal{K}_{\infty}\)类函数与\(\mathcal{K}\)类函数主要是定义域的区别。
- 连续函数\(\beta: \left [ 0, a \right ) \times \left [ 0, \infty \right ) \to \left [ 0, \infty \right )\)是\(\mathcal{KL}\)类函数，如果对于固定的\(s\)，函数\(\beta(r,s)\)是\(\mathcal{K}\)类函数；对于固定的\(r\)，函数\(\beta(r,s)\)关于\(s\)严格递减，且当\(s\to\infty\)时\(\beta(r,s)\to 0\)。
物理意义
零输入响应
讨论系统\((1)\)的零输入响应，即假设系统无输入信号，\(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty}=0\)，则有\(\gamma(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty})=0\)，那么\((4)\)式变为
\[ \left \| \mathbf{x}(t) \right \| \le \beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t) \tag{5} \]
分析可得如下结论：
- 对于固定的初值条件\(\mathbf{x}(0)\)，\(\beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t)\)关于时间\(t\)严格递减，且\(t\to\infty\)时，\(\beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t) \to 0\)，则系统状态值随时间推移单调递减趋于零，这种情况下，输入到状态稳定与全局渐进稳定是等价的。
- 对于固定的时间\(t\)，\(\beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t)\)是\(\mathcal{K}\)类函数，所以\(\beta(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|,t)\)关于\(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|\)单调递增；且有\(\beta(\mathbf{0},t)=0\)，则系统初始值越大，状态值越大，初始值为零，任意时刻的状态值也为零。
零状态响应
讨论系统\((1)\)的零状态响应，即假设系统初始状态为零，\(\left \| \mathbf{x}(0) \right \|=\mathbf{0}\)，那么对于某个特定时刻\(t\)有\(\beta(\mathbf{0},t)=0\)，所以\(t\)时刻的状态值满足不等式
\[ \left \| \mathbf{x}(t) \right \| \le \gamma(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty}) \tag{6} \]
可得到如下结论：函数\(\gamma\)严格递增，且输入\(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty}=0\)时，\(\gamma(\left \| \mathbf{u}(t) \right \|_{\infty})=0\)，则系统输入的幅值为零时状态值也趋于零，而且状态值与输入的幅值成正比，此时的\(\gamma\)称为增益。