系统的输入到状态稳定性

发表于 2023-02-20 分类于大学课程 Waline：本文字数： 1.2k 阅读时长 ≈ 4 分钟

概念引入

稳定性是控制理论的核心概念。最近通过阅读Applied Nonlinear Control和Nonlinear Systems两本书系统学习Lyapunov稳定性理论，想粗读这部分内容可参考这个材料。本文介绍比较少见的输入到状态稳定性（input-to-state stability）。

对于一般的控制系统

假设它满足微分方程解存在和唯一的条件。当没有外部输入时，假设如下非强迫系统（unforced system）

有一个全局一致渐进稳定（globally uniformly asymtotically stable）的平衡点。但是，当给定一个有界的外部输入时，系统的状态有可能是无界的。举个例子，如下的非线性系统

当时，容易验证系统有一个全局指数稳定（globally exponentially stable）的原点。但是，当初值条件且外部输入时，微分方程方程的解是无界的。

由此可知，经典的Lyapunov稳定性理论主要针对平衡点附近的稳定性，无法应对外部输入作用下系统的稳定性。Eduardo Sontag在1989年提出的输入到状态稳定性解决了这个问题。

输入到状态稳定性的定义：对于系统，如果存在一个类函数和一个类函数，使得对任意初始状态和任意有界输入，存在解对所有的都满足

则称系统是输入到状态稳定的。

一些论文将定义为类函数，其实差别不大。为了理解上述定义，需要了解比较函数（comparision function）的概念。

下面给出类函数、类函数和类函数的定义：

讨论系统的零输入响应，即假设系统无输入信号，，则有，那么式变为

分析可得如下结论：

讨论系统的零状态响应，即假设系统初始状态为零，，那么对于某个特定时刻有，所以时刻的状态值满足不等式

可得到如下结论：函数严格递增，且输入时，，则系统输入的幅值为零时状态值也趋于零，而且状态值与输入的幅值成正比，此时的称为增益。