控制理论拾遗：内模原理

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稳态误差

本科自动控制原理教材在讨论稳态误差时，通常会介绍系统型别和静态误差系数法。对于单位负反馈系统，通过位置、速度和加速度误差系数，可以快速判断阶跃、斜坡和加速度信号输入下的稳态误差。

例如，I型系统能够无静差跟踪阶跃输入，II型系统还能无静差跟踪斜坡输入。但有一个很自然的问题：如果参考输入不是多项式形式，比如正弦信号，怎样才能保证稳态误差为零？「系统是几型」已经无法直接回答这个问题。要回答它，需要一个更加一般的理论，即内模原理（Internal Model Principle）。

内模原理

考虑单位负反馈系统，被控对象、控制器和参考输入分别为

误差信号为

对于讲义所讨论的参考信号，即 的极点满足，要使，需要同时满足：

  1. 闭环极点全部严格位于左半平面，即
  2. 是的因子，即存在多项式，使

第二个条件意味着，系统必须包含参考信号的动态结构。如果被控对象本身不包含这种结构，就需要由控制器提供。

因此，内模原理可以直观地概括为：要想对某类持续存在的信号实现零稳态误差，系统中必须包含产生这类信号的动态模型，同时保证闭环稳定。

怎样理解「包含信号的模型」？对于积分器，当输入时，有。只要初始状态，就会得到。也就是说，积分器自身就能够产生任意常值信号，所以可以看作常值信号的内模。

类似地，考虑二阶振荡器的零输入动态

它的自由响应为

也就是说，这个动态系统自身就能够产生频率为 的正弦信号。因此，是正弦信号的内模。

这也是「内模」最直观的含义。

正弦输入

考虑一个简单的被控对象，希望系统跟踪，因此。先采用比例控制器，则

这里需要注意，是参考输入带来的极点，并不是闭环系统自身的极点。闭环误差传递函数为，其极点只有，所以闭环系统本身是稳定的。但是，稳定系统受到持续正弦输入后仍会产生持续的正弦稳态响应，而且其幅值和相位通常与输入信号存在差异。因此，系统虽然稳定，却不能无误差地跟踪。

根据内模原理，的动态结构由决定，即极点。因此可以选取含有这一内模的控制器，例如

此时

闭环特征多项式的根全部严格位于左半平面，因此闭环稳定。同时，参考信号对应的已从误差响应中消失，最终有，稳态误差为零。

所以，对于一般的，其动态模型为。若希望实现零稳态误差，系统就需要包含相应的内模，同时保证闭环稳定。

总结

再回头看静态误差系数法。阶跃、斜坡和抛物线输入分别对应、、，因此要实现零稳态误差，系统分别需要包含一个、两个和三个原点极点。这解释了教材按开环原点极点个数划分0型、I型、II型的原因：I型含一个积分器，可无静差跟踪阶跃；II型含两个积分器，可无静差跟踪斜坡。正弦信号则对应一对的内模极点。

因此，系统型别和静态误差系数法并不是一套孤立的计算技巧，而是内模原理在多项式参考输入下的具体体现。

参考资料

  1. Purdue University ECE 382: The Internal Model Principle
  2. Modern Control Systems, Richard C. Dorf and Robert H. Bishop