控制理论拾遗：灵敏度函数

发表于 2026-08-05 分类于大学课程 Waline：本文字数： 2k 阅读时长 ≈ 7 分钟

灵敏度函数

国内很多控制理论教材详细介绍了Nyquist稳定性判据、增益裕度和相位裕度，却没有包含灵敏度（sensitivity）函数这一重要内容。

设系统的某个特性与参数有关。对的相对灵敏度定义为

它表示参数发生单位百分比变化时，系统特性大约发生多少百分比变化。例如，若，则在小摄动意义下，参数变化大约引起系统特性变化。

考虑单位负反馈系统，令为被控对象，为控制器，则环路传递函数为，国内教材中一般称为开环传递函数。参考输入到输出的闭环传递函数为

因此

由此定义控制系统的灵敏度函数

当被控对象发生较小的相对变化时，有近似关系。因此，越小，闭环系统对该频率附近的模型误差越不敏感。

定义互补灵敏度函数

显然有。若扰动直接叠加在系统输出端，则输出为

因此，灵敏度函数同时描述了反馈系统抑制输出扰动的能力：当时，该频率的扰动被衰减；当时，该频率的扰动反而被放大。

灵敏度函数随频率变化，设计时通常关心它的最大值，即峰值灵敏度

在Nyquist图上，正好是从临界点指向Nyquist曲线上对应点的向量。令Nyquist曲线到临界点的最短距离为

则有

以为圆心为半径作圆，该圆会与Nyquist曲线相切，称为灵敏度圆（sensitivity circle）。有些文献将称为稳定裕度或模裕度。

如果把「裕度」理解为Nyquist曲线距离失稳临界点最近还有多远，那么相切点到的距离才是「真正的裕度」。增益裕度和相位裕度分别考察纯增益变化和纯相位变化，而考察整条Nyquist曲线与临界点之间的最近距离。

通常建议将峰值灵敏度控制在约到的范围内，对应的最短距离约为到。需要注意，这个经验范围针对的是峰值灵敏度，并不是要求所有频率上的都处于该范围。在主要扰动所在的频率范围内，应尽可能小于1。

学过Nyquist稳定性判据和它引申出来的裕度概念后，很容易认为，只要增益裕度和相位裕度足够大，系统的相对稳定性就一定很好。但实际上，较大的相位裕度有时并不能代表系统很健壮。

考虑这个例子

它的Nyquist图、单位圆、相位裕度和灵敏度圆如前图所示。

图中的黑色虚线圆是单位圆，紫色实心点表示相位裕度对应的点，紫色圆弧表示相位裕度的大小。该系统的相位裕度约为，单独看这个数值，系统似乎具有很好的相对稳定性。但是，红色灵敏度圆与Nyquist曲线的切点并不位于单位圆上。该切点到临界点的距离仅为，因而峰值灵敏度为，明显超出通常建议的范围。

相位裕度只观察Nyquist曲线穿过单位圆时的相位，而曲线距离最近的位置完全可能出现在其他频率。图中较大的相位裕度和较小的「真正裕度」同时存在，正好说明只使用增益裕度和相位裕度，有时会高估系统的健壮性。

既然越小意味着扰动抑制越好、对模型误差越不敏感，一个很自然的问题是：能否让灵敏度在所有频率上都小于1？

Bode灵敏度积分（Bode's sensitivity integral）给出了这种性能改善所受到的基本限制。对于SISO系统，其一般形式可写为

其中为环路传递函数位于右半平面的极点。

在最常见的情形下，如果没有右半平面极点，并且极点数至少比零点数多2个，则，于是上式简化为

当时，有；当时，则有。因此，在上述常见情形下，如果通过反馈把某些频段的灵敏度压低，就必须在其他频段付出灵敏度升高的代价。这种现象常被形象地称为水床效应（waterbed effect），一处压下去，另一处就会鼓起来。

下图直接以频率为横轴、为纵轴。由于Bode灵敏度积分本身就是关于线性频率的积分，曲线在横轴下方和上方的几何面积分别对应积分的负、正贡献。在积分为零的情形下，两部分面积相等。

前面的例子也很好地体现了这一现象。低频处灵敏度被压到1以下，意味着反馈有效改善了这一频段的扰动抑制和健壮性。代价是在更高频率出现明显的灵敏度峰值，本例中最终达到。

因此，控制器设计的目标并不是让在所有频率上都尽可能小，而是在真正需要跟踪和抗扰的频段将它压低，同时限制其他频段的灵敏度峰值不要过大。峰值灵敏度也反映了系统在获得某些频段性能改善之后，在最不利频率处付出了多大的代价。

增益裕度和相位裕度仍然是非常有用的稳定性指标，但它们只反映特定方向上的增益变化和相位变化。Nyquist曲线与灵敏度圆相切处到临界点的距离，则直接反映整条曲线距离失稳边界最近还有多远。

峰值灵敏度满足，它把参数摄动、扰动抑制、Nyquist几何关系和健壮性联系到了一起。Bode灵敏度积分进一步说明，反馈性能的改善并不是免费的，在某些频段将灵敏度压低，通常需要以其他频段灵敏度的升高作为代价。

因此，在分析和设计控制系统时，除了增益裕度和相位裕度之外，还应关注峰值灵敏度、Nyquist曲线到临界点的最短距离，以及灵敏度在整个频率范围内的分布。